Algèbre linéaire Exemples

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 30}{5 x^{2} + 13 x - 6}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x^{2} + 16 x + 30}{5 x^{2} + 13 x - 6}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$5 x^{2} + 13 x - 6 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 5 \cdot - 6 = - 30$ et dont la somme est $b = 13$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $13$ à partir de $13 x$ .

$5 x^{2} + 13 (x) - 6 = 0$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez $13$ comme $- 2$ plus $15$

$5 x^{2} + (- 2 + 15) x - 6 = 0$

Étape 2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{2} - 2 x + 15 x - 6 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(5 x^{2} - 2 x) + 15 x - 6 = 0$

Étape 2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (5 x - 2) + 3 (5 x - 2) = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $5 x - 2$ .

$(5 x - 2) (x + 3) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$5 x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 2.3

Définissez $5 x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $5 x - 2$ égal à $0$ .

$5 x - 2 = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $5 x - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x = 2$

Étape 2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $5 x = 2$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x = 2$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Étape 2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Étape 2.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2}{5}$

Étape 2.4

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 2.4.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(5 x - 2) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = \frac{2}{5}, - 3$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \frac{2}{5}) \cup (\frac{2}{5}, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq \frac{2}{5}, - 3}$

Étape 4